Công thức đầu tư Kelly

Công thức đầu tư Kelly

Khái niệm công thức đầu tư Kelly

Trong lý thuyết xác suất và lựa chọn danh mục đầu tư liên công ty , tiêu chí Kelly , chiến lược Kelly , công thức Kelly hoặc đặt cược Kelly là một công thức để đặt cược kích thước dẫn đến sự giàu có gần như chắc chắn so với bất kỳ chiến lược nào khác trong dài hạn (nghĩa là giới hạn là số đặt cược đến vô cùng). Kích thước đặt cược Kelly được tìm thấy bằng cách tối đa hóa logarit dự kiến ​​của sự giàu có, tương đương với tối đa hóa tốc độ tăng trưởng hình học dự kiến.

Nó được mô tả bởi JL Kelly, Jr , một nhà nghiên cứu tại Bell Labs , vào năm 1956. Việc sử dụng thực tế của công thức đã được chứng minh.

Tiêu chí Kelly là đặt cược một phần tài sản được xác định trước và có thể phản trực giác. Trong một nghiên cứu, [5] [6] mỗi người tham gia được tặng 25 đô la và được yêu cầu đặt cược vào một đồng xu sẽ giành được 60% thời gian. Người tham gia có 30 phút để chơi, vì vậy có thể đặt khoảng 300 cược, và giải thưởng được giới hạn ở mức 250 đô la. Hành vi là xa tối ưu. "Đáng chú ý, 28% số người tham gia đã phá sản và mức chi trả trung bình chỉ là 91 đô la. Chỉ có 21% số người tham gia đạt tối đa. 18 trong số 61 người tham gia đặt cược mọi thứ trên một lần ném, trong khi hai phần ba đánh bạc trên đuôi ở một số giai đoạn trong thí nghiệm. " Sử dụng tiêu chí Kelly và dựa trên tỷ lệ cược trong thử nghiệm, cách tiếp cận đúng sẽ là đặt cược 20% tiền cược cho mỗi lần ném (xem ví dụ đầu tiên bên dưới). Nếu thua, kích thước của cược sẽ bị cắt; nếu chiến thắng, cổ phần tăng lên.

Mặc dù lời hứa của chiến lược Kelly sẽ làm tốt hơn bất kỳ chiến lược nào khác về lâu dài có vẻ hấp dẫn, một số nhà kinh tế đã tranh cãi gay gắt với nó, chủ yếu vì những hạn chế đầu tư cụ thể của một cá nhân có thể vượt qua mong muốn về tốc độ tăng trưởng tối ưu. [7] Các thay thế thường được dự kiến tiện ích lý thuyết mà nói cược nên có kích thước để tối đa hóa sự mong đợi tiện ích về kết quả (cho một cá nhân với logarit tiện ích, đặt cược Kelly tối đa dự kiến tiện ích, vì vậy không có xung đột, hơn nữa, giấy gốc Kelly nêu rõ sự cần thiết của một chức năng tiện ích trong trường hợp các trò chơi đánh bạc được chơi nhiều lần [1]). Ngay cả những người ủng hộ Kelly thường tranh luận về phân số Kelly (đặt cược một phần cố định của số tiền được đề xuất bởi Kelly) vì nhiều lý do thực tế, như muốn giảm độ biến động hoặc bảo vệ chống lại các lỗi không xác định trong tính toán lợi thế (cạnh) của họ. [số 8]

Trong những năm gần đây, Kelly đã trở thành một phần của lý thuyết đầu tư chính thống [9] và yêu cầu đã được đưa ra rằng các nhà đầu tư thành công nổi tiếng bao gồm Warren Buffett [10] và Bill Gross [11] sử dụng các phương pháp của Kelly. William Poundstone đã viết một tài khoản phổ biến rộng rãi về lịch sử cá cược Kelly. [7]

Thứ hai bậc Taylor đa thức có thể được sử dụng như là một xấp xỉ tốt của tiêu chí chính. Về cơ bản, nó rất hữu ích cho đầu tư chứng khoán, trong đó phần dành cho đầu tư dựa trên các đặc điểm đơn giản có thể dễ dàng ước tính từ dữ liệu lịch sử hiện tại - giá trị và phương sai dự kiến . Sự gần đúng này dẫn đến kết quả mạnh mẽ và cung cấp kết quả tương tự như tiêu chí ban đầu.

Tuyên bố

Đối với các cược đơn giản có hai kết quả, một liên quan đến việc thua toàn bộ số tiền đặt cược và hai là liên quan đến việc thắng số tiền đặt cược nhân với tỷ lệ cược hoàn trả , đặt cược Kelly là:

Ở đâu:

f * là tỷ lệ cược ngân hàng hiện tại để đặt cược, tức là đặt cược bao nhiêu;
b là tỷ lệ cược ròng nhận được trên cược (" b đến 1"); nghĩa là, bạn có thể giành được $ b (trên cùng là nhận lại $ 1 đã đặt cược) cho đặt cược $ 1
p là xác suất chiến thắng;
q là xác suất thua, là 1 - p .
Ví dụ: nếu một canh bạc có 60% cơ hội chiến thắng ( p  = 0,60, q  = 0,40) và con bạc nhận được tỷ lệ cược 1 trên 1 cho cược thắng ( b  = 1), thì con bạc nên đặt cược 20 % của bankroll tại mỗi cơ hội ( f * = 0,20), để tối đa hóa tốc độ tăng trưởng dài hạn của bankroll.

Nếu con bạc có cạnh bằng 0, tức là nếu b = q / p , thì tiêu chí khuyến nghị con bạc đặt cược không có gì.

Nếu cạnh là âm ( b < q / p ), công thức cho kết quả âm, chỉ ra rằng con bạc nên lấy mặt khác của cược. Ví dụ, trong roulette tiêu chuẩn của Mỹ, người đặt cược được cung cấp một khoản tiền chẵn (b = 1) trên màu đỏ, khi có 18 số màu đỏ và 20 số không màu đỏ trên bánh xe (p = 18/38). Đặt cược Kelly là -1/19, có nghĩa là con bạc nên đặt cược một phần mười trong số tài khoản ngân hàng của họ rằng màu đỏ sẽ không xuất hiện. Thật không may, sòng bạc không cho phép đặt cược vào thứ gì đó sắp xảy ra, vì vậy một người đánh bạc Kelly không thể đặt cược.

Đỉnh của phần đầu tiên là tiền thắng ròng dự kiến ​​từ đặt cược $ 1, vì hai kết quả là bạn thắng $ b với xác suất p hoặc thua $ 1 đặt cược, tức là thắng $ -1, với xác suất q . Vì thế:

Đối với cược tiền chẵn (nghĩa là khi b  = 1), công thức đầu tiên có thể được đơn giản hóa thành:

f^{*} = p - q

Vì q = 1-p, điều này đơn giản hóa hơn nữa để

f^{*} = 2p - 1

Một vấn đề chung hơn liên quan đến quyết định đầu tư là:

1. Xác suất thành công là p

2. Nếu bạn thành công, giá trị đầu tư của bạn tăng từ 1 đến 1 + b.

3. Nếu bạn thất bại (xác suất là q = 1-p) giá trị khoản đầu tư của bạn giảm từ 1 đến 1-a. (Lưu ý rằng mô tả trước ở trên giả định rằng a là 1).

Trong trường hợp này, tiêu chí Kelly hóa ra là biểu thức tương đối đơn giản

f^{*} = p/a - q/b.}

Lưu ý rằng điều này giảm xuống biểu thức ban đầu cho trường hợp đặc biệt ở trên f^{*} = p - q sao cho b = a = 1.

Rõ ràng, để quyết định ủng hộ đầu tư ít nhất một số tiền nhỏ f ^ {*}> 0 , bạn phải có

pb > qa 

điều rõ ràng là không có gì nhiều hơn thực tế là lợi nhuận dự kiến ​​của bạn phải vượt quá khoản lỗ dự kiến ​​để đầu tư có ý nghĩa.

Kết quả chung làm rõ lý do tại sao đòn bẩy (vay vốn để đầu tư) làm giảm tỷ lệ tối ưu được đầu tư, như trong trường hợp đó a > 1. Rõ ràng, cho dù xác suất thành công lớn đến đâu, p, nếu như a một là đủ lớn, phần tối ưu để đầu tư bằng không. Do đó, sử dụng quá nhiều lợi nhuận không phải là một chiến lược đầu tư tốt, cho dù bạn là một nhà đầu tư giỏi đến đâu.